できません。
被保険者の方が資格喪失後6ヵ月以内に分娩されると「出産育児一時金」と「家族出産育児一時金」のどちらか一方を請求することができます。当組合での支給額は法律で決められている420,000円（産科医療補償制度に加入する医療機関で出産した場合。それ以外は408,000円［2021年12月までは404,000円］）で、付加給付はありません。
しかし、他健保では付加給付があり420,000円以上の支給を受けられる所もあります。ですから、被保険者だった方がお産をされた時は現在加入している健保へ、家族の方がお産された時は家族の方が被保険者として加入していた健保へ支給額を確認し、付加給付があるならば、そちらへ請求された方がいいと思います。